学霸们速度啊！！各位学霸看清楚题目要求 速度答题 附加：三角形为等边三角形，P为任意一点，三角形周长为a

啊啊啊啊啊啊！！！人工置顶 各位速度啊！

学霸们速度啊

用等面积法试试

a/2

AE-BE=(AP^2-BP^2)/AB
三式相加.

AE²+PE²=AP²=AF²+PF²
BD²+PD²=BP²=BE²+PE²
CF²+PF²=CP²=CD²+PD²
三式AE²+PE²=AF²+PF²,BD²+PD²=BE²+PE²,CF²+PF²=CD²+PD²相加
得AE²+PE²+BD²+PD²+CF²+PF²=AF²+PF²+BE²+PE²+CD²+PD²
整理得AE²+BD²+CF²=AF²+BE²+CD²
周长为a,等边三角形边长为a/3
由
AF=a/3-CF
BE=a/3-AE
CD=a/3-BD
代入式子AE²+BD²+CF²=AF²+BE²+CD²
AE²+BD²+CF²=(a/3-CF)²+(a/3-AE)²+(a/3-BD)²
整理
AE²+BD²+CF²=a²/9-(2a/3)CF+CF²+a²/9-(2a/3)AE+AE²+a²/9-(2a/3)BD+BD²
0=a²/3-(2a/3)CF-(2a/3)AE-(2a/3)BD
(2a/3)(AE+BD+CF)=a²/3
AE+BD+CF=(a²/3)(3/2a)=a/2

面积！！

连结AP，BP，CP，据勾股定理有:
EP^2=AP^2-AE^2=PB^2-BE^2;
AE^2-EB^2=PA^2-PB^2;
(AE+EB)(AE-EB)=AB×(AE-EB)=PA^2-PB^2;
AE-EB=(PA^2-PB^2)/AB;
同理:BD-CD=(PB^2-PC^2)/BC;
CF-AF=(PC^2-PA^2)/AC;
三式相加可得:
AE-BE+BD-CD+CF-AF=0;
AE+BD+CF=BE+CD+AF=a/2;

那是等边三角形吗

谢谢各位学霸！可是有没有更简洁的方法？

构造