看Arnold的经典力学的数学方法，感觉作者写得真心好。自己的功底还是太差。
呵呵，需要的工具包括：微分方程，相流，光滑映射和流形，李群和李导数，辛流形和遍历理论。其中学过的很少，听过的也不多，更多的居然是一些闻所未闻的东西。说明需要努力的东西还很多。

首先说明，经典力学包括三大体系，牛顿力学，Lagrangian力学和Hamiltonian力学。记得冯康先生曾经说过，方程尽管在物理 上是等价的；但在计算上是不等价的（他的学生称之为冯氏大定理），这样经典力学的牛 顿方程、拉格朗日方程和哈密顿方程，在计算上表现出不同的格局，由于哈密尔顿方程具 有辛几何结构，他敏锐地察觉到如果在算法中能够保持辛几何的对称性，将可避免人为耗 散性这类算法的缺陷，成为具有高保真性的算法。 作为一个计算数学的学生，我认为，对力学的这三大体系应该是需要掌握的，而如果需要比较好的掌握这三大体系，前面所说的比如辛流形，这是Hamiltonian形式里最基本的东西，是我应该学习并且掌握的东西。才学了一点点基本的微分流形，前路还长，哈哈。

牛顿力学主要研究的是点态且有质量的物体在三维空间中的运动。其基本思想自然就是牛顿定理。通常来说，我们的式子都是在一个三维的笛卡尔坐标系下表示出来的。
一般地，一个牛顿力学体系下的系统通常由一个物体的质量及其势能来确定。而根据能量守恒的特性，一个空间的运动是不会改变物体势能的。按照Arnold先生的说法，Newton方程可以解决一系列的重要的力学问题，包括中心力场中的运动。对于什么叫中心力场我也不明白！还需要补物理啊补物理！

1.伽利略的相对原理以及决定性：这个部分主要给出了惯性系的概念以及如何来理解惯性系。值得申明的是，一切彼此做匀速直线运动的惯性系，对描述机械运动的力学规律都是完全等价的，而牛顿的决定性原理(或者叫牛顿的绝对时空观http://baike.baidu.com/link?url=vL5QFW5QuoQkhkWxUdntN52qs38ZmGhvQh16DKH0Ug7L5THYA6NpKZQ_NhTNKPrF)说明了一个力学系统的初态将唯一的决定这个系统的运动。
2.伽利略的空间-时间结构，其包含了以下三个元素：
(1)universe(个人认为翻译成整体，全局比较合适，当然翻译成宇宙也并不违反任何规定)。其实是一个4维的仿射空间。http://baike.baidu.com/link?url=RIf9bb2WpoVY9TfKh0tHsORoBs_S7gFleeSLWNPde49IaxbqLhE5bhcrcly-6ERDkgq6FRC91hlGLCdSZ3L2O_
(2)时间。时间在伽利略空间中被定义成为了从4维的向量空间到1维向量空间的映射。而且对于这个4维仿射空间中的任意两点a,b，如果t(b-a)=0，那么这两个点称作同时的。显然，同时发生的事件集构成了一个3维的仿射空间。
(3)距离。这个地方的距离是定义在同时发生的两个点上的距离，与欧式空间上的距离有相同的定义。
而且我们称一个具有伽利略时间-空间结构的仿射空间为一个伽利略空间。而利用R和R^3的直积可以很容易的得到一个自然的伽利略空间。
3.伽利略变换：http://baike.baidu.com/view/269481.htm
一个伽利略变换是4维的仿射变换，其保证了在一个时间区间上两个同时发生的事件距离不变。而由这些保证了伽利略时间-空间结构的线性变换构成了一个群叫做伽利略群。通常情况下，其有3类表示：
(1)以速度v的匀速运动，也就是g(t,x)=(t,x+vt)；
(2)边界变化，g(t,x)=(t+s,x+s)；
(3)坐标轴的旋转，g(t,x)=(t,Gx).
那么，很容易说明一个自然的伽利略空间具有10个维度，而且任何一个伽利略空间都同构于自然的伽利略空间。

1.定义运动是一个n维的可微映射$x:I\rightarrow R^n$，其中I是一个实轴上的区间。
2.定义速度是这个运动的导数,值得注意的是，这个速度是个向量，即是说它具有方向。
3.定义加速度是这个运动的二阶导，其也是矢量。
我们先假设我们所碰到的函数都是足够光滑的，即是其具有我们所需要的任意多阶的连续可导性。其次，我们称映射x：I\rightarrow R^n的像为R^n中的轨迹或者曲线。
下面作者介绍了一个关于图的概念。一个函数f的图就是一个映射f:A\rightarrow B的一个子集，其包括了A\times B的所有形如(a,f(a))的点。而一个曲线作为一个运动的图的时候，其被称为世界线(world line)。http://baike.baidu.com/link?url=5gg-q-2-bntQzmV0gE-Bf5LdQ--f8jmvkMy7zqpPnWQQoQn1erUwMvF4Gk-qwJj4BHbH2_aFzrafhPLVCUgvO6eXc-THpt9wLkvVksOQ0iJqPtd0dcGkGBctaYOBkbNX
那么自然的，一个具有n个点构成的系统的运动，在伽利略空间里面，就会出现n条世界线。它们由映射x_i：R\rightarrow R^3来表示(i=1,2,\cdots,n).为了将这n个点统一起来，作者引入了构型空间(位形空间)这一概念http://baike.baidu.com/link?url=a59cim4eMlPYUFF6wI6fI2ylbqKFYlkGv2eCZbbvlTGyMWt4ZMJcRMOEjja_j9n-kJzvwtOD2s4yDwnDdnf1Yq，定义了x：R\rightarrow R^N,N=3n.即是将一个时间轴映到了一个位形空间上，也可称作是定义在R\times R^3上的n个点的运动系统。
按照牛顿的绝对时空性的表述，一个系统的运动只决定于其初始状态，也就是说，这决定于初始位置(x(t_0))和初始速度(\dot(x)(t_0))。特别地，初始的位置及其初始速度决定了加速度。话句话说，就是存在一个映射F：R^N\times R^n\times R\rightarrow R^N,以至于\ddot{x}=F(x,\dot{x},t).牛顿用这个方程来表示力学的基础，因此称其为牛顿方程。根据常微分方程理论，这个方程的解决定于F以及初始条件。
对于一个已经给定的伽利略空间，如果我们选定了这个动力系统中所有点的世界线，再给定一个伽利略变换，那么我们自然希望在只改变初始状态的情况下这个系统是不变的。下面讨论3种在伽利略变换之后的不变形式。(这个地方可能翻译的不对，自己斟酌)。
(1)在时间变化后的不变形式。即是说，其运动的本质与时间无关，即是如果x=f(t)是牛顿方程的一个解，那么x=f(t+s)也是牛顿方程的一个解。也就是说，这个牛顿方程并不依赖与时间，即是\ddot{x}=F(x,\dot{x}).
事实上，只有当讨论两个力学系统时，其中一个系统对另一个系统只在某些时刻产生影响时，这个影响需要看作一个时间的参数。比如潮汐。
(2)三维空间下的变换的不变形式。即是说，这个空间是其次的，所有的参考系都只依赖于相对坐标。
在(1)和(2)的情形下，我们知道当选择两个不同的参考系时，受影响的是这个系统中的绝对速度，而非相对速度。也就是说，牛顿方程中所依赖的，事实上是相对距离以及相对速度。
(3)三维空间中的旋转变换下的不变形式。即是说两个空间是同构的。也就是说，如果G是一个正交变换，那么F(Gx,G\dot{x})=GF(x,\dot{x}).

今天其实也看了挺多的书，自己整理成TeX了，就不发贴吧了。反正不过是做自己喜欢的事，这样就挺好。

菜鸟总有变成大神的那天。至少曾经为自己的梦想奋斗过，那就够了。我比你大四岁吧，嘿嘿，所以我所说你应该看不懂。不过无所谓，加油吧。

昨天和寝室一帮子哥们去玩，然后现在爬起来看paper，人生快乐的事无非就是做自己想做的，而且还能把它做好。前段时间加了个QQ群，他们都讨论什么表示论。反正听不懂，就看他们彼此吐槽。我还要成长，尤其在力学上。

wtf,看paper看到现在。说好的早睡计划又泡汤了。今天怒看了会sato theory，觉得挺深刻的。没看很懂，毕竟伊藤是沃尔夫奖获得者，哪有那么简单呢。不过收获颇多。嘿嘿

看凸分析啊凸分析，慢慢觉得看懂了。努力吧。嘿嘿。

Arnold的书的确不好看啊。拉格郎日力学里面随便罗列了个导数的定义居然是frechet导数。一些基本的东西还是跑不掉。该学的非线性的还得学。变分应该你想象中那么简单。加油吧骚年！

凸分析考跪了。也因为自己没学嘛。无所谓了，把数值解好好学好就够了！加油，Ben!

学长，加油，你在我心里都封神了