3．概率的产生

　　尽管有卡尔达诺和伽利略等先驱者的一些非常重要的工作，而概率论历史学家大多赞同这样一个观点：对于数学中一个非常特别的问题的解法的探求成为数学化的概率科学产生的标志之一，这个问题被称作“点问题”。所谓“点问题”是指当游戏在完成前被终止时，怎样处理两名技能相当的游戏者的赌金分配问题，其依据是游戏者的得分数或是游戏终止时的点数。意大利的帕巧利（Luca Pacioli，1445-1509）早在1494年出版的《算术书》（Summa de Arithmetica）一书中，就提到了赌博中常常遇到的“点问题”，他是最早在数学著作中提到点问题的作者。紧接着，卡尔达诺和他的对手塔尔塔利亚 (Nicola Fontana Tartaglia 1499-1557)都讨论过这个问题。然而，所有这些人，对这一问题得出的结论都不正确。直到一百多年后，在1654年，一个名为德.梅勒（de Mere，1607--1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，从此概率论历史上一个决定性的阶段才开始了。
　　帕斯卡（Blaise Pascal，1623--1662）在早年就表现出了超常的数学能力，在数学史中他被称作“最伟大的天才”（Greatest Might-Have-Been），他曾经对微积分、射影几何、概率论等数学分支做出了巨大的贡献。他拥有如此高的数学天赋和非常敏锐的直觉能力，他理应创造更多的发现。不幸的是，在他生命的大部分时间里，他倍受敏感性神经痛和精神幻觉症的折磨。他于1662年去世时年仅39岁。
　　与帕斯卡共同分享概率论的创始人的声誉的法国另一位数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）的一生则充满了喜悦与和平。他的职业是一名律师，他把他大部分的空余时间都献给了数学研究。虽然他没受过什么特别的数学训练，但是在数学这一领域中，却取得了同时代其他数学家不可比拟的重大的发现。他和笛卡尔（Descartes，1596--1650）各自独立地发明了解析几何学，为微积分奠定了技术基础。在十七世纪的数论领域里他的成果最为丰富，以后数论成为一个正式的抽象数学领域与他的工作密不可分。作为一个谦逊朴实的人，他很少发表文章，但是他与当时很多一流数学家不断通信，并在他的同时代人中有相当的影响力。费马的众多重要的贡献丰富了数学的很多领域，所以被称为“业余数学家之王”。

　　德.梅勒是一位军人、语言学家、古典学者，同时也是一个有能力、有经验的赌徒，他经常玩骰子和纸牌。虽然他不是一个全职的数学家，但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题，“点问题” 就是其中之一。这一次，德.梅勒的问题的形式是：假设两个赌博者（德.梅勒和他的一个朋友）每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？德.梅勒的朋友认为，既然掷出他选择的点数的机会是德.梅勒的一半，那么他该拿到德.梅勒所得的一半，即他拿20个金币，德.梅勒拿40个金币。然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局，每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是“5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。
　　他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信。在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题。在1654年7月29日，帕斯卡写给费马的信中，他提到了这个问题和可能的解决方法，“你的解法非常正确，是给我印象最深的一个，但这些组合太过麻烦。我发现了另一种更为简洁的实在可行的解法。”在1654年10月21日他写给费马的信中提到，当他们互不赞同的时候，能这样通信，保持一致是鼓舞人心的。他说：“先生，您的最后一封信让我非常满意，您有关‘点问题’的解法我很钦佩。更是因为我非常理解它完全是属于你的，它与我的解法完全不同，然而却轻易的得到了同样的结果，现在我们又开始和睦了。”在1654年7月和10月的通信中，他们还联系“点问题”思考了其他的问题，比如当两人的技艺不等时，或超过2人参加游戏的赌金的分配问题。尤其是帕斯卡的研究更有效地推动了数学概率理论的发展，他的组合方法具有一般性。他的工作中还蕴涵了概率论中另一重要的思想--数学期望的思想。在十七世纪弥漫着浓重的宗教神学气质的精神环境中，身为神学家的帕斯卡也结合了宗教和数学两种思想于概率的思考中。帕斯卡在他的著作《思想录》中曾经提出一个以“帕斯卡赌注”闻名的问题：“我们既不知道上帝的存在，也不知道上帝的本质。

然而我们将倾向于哪一边呢？……，这里进行的是一场赌博，…… 让我们来权衡一下在上帝存在的赌注中的得失。让我们估计这两种可能性，如果你赢了，你赢得所有；如果你输了，你却一无所失。因此，你就不必迟疑去赌上帝的存在吧。”这个论述中已包含了比较明确的数学期望的思想，这种思想成为以后惠更斯（Christian Huggens）和维特（De. Witt）的概率论工作中的一个基本思想，并在以后相当长的时间里在古典概率论的研究中起着重要的作用。
　　帕斯卡和费马正确解决了“点问题”的这一事件被伊夫斯（Howard Eves）称为“数学史上的一个里程碑”。在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志。之所以不把卡尔达诺的著作作为概率论的起源的始点，有这样几个原因：在卡尔达诺的著作中只有一小部分内容是处理机会（chance）的计算的。就像卡尔达诺的大多数作品一样，这种处理似乎只是零碎的和模糊的，混杂于卡尔达诺的个人的一些奇闻轶事、哲学思考、大量流行的赌博者常用的欺骗策略和精明的心理应用等建议之中，并且他的这本著作中所阐述的数学思想对数学家和一般的赌徒几乎都没有什么影响。因为对于当时的数学家而言，概率太游戏化了，而对赌徒而言，概率又太数学化了。而帕斯卡和费马的通信除了正确解决了一些问题和概念之外，还创造了一种研究的传统--用数学方法（主要是组合数学的方法）研究和思考机会性游戏。这种传统统治这个领域达半个多世纪的时间。所以，综合考虑所有这些因素，这个事件赢得它在数学概率论的历史中的标志性的地位是当之无愧的。

标题:“摸球游戏”与概率论
　　大约十年前，在北京西直门立交桥附近，曾有一个摆摊摸球的人。当时围观的人们觉得很新鲜，曾有很多人参与摸球。现在看来，这不过是一个小型的赌博游戏罢了。
　　这个游戏的规则很简单：他先摆出了12个台球一般大小的小球，其中有6个红色球和6个白色球。当着观众的面，他把所有12个色球装进一个普通的布袋中，然后怂恿大家来摸。怎么个摸法呢？就是从这个装有12个球的布袋中，随便摸出6个球来，看看其中有几个是红球，有几个是白球。当然，摸球者只能把手伸进袋口中把球一个一个地“掏出来”，而不能打开袋口看着摸。
　　这位摆摊的人，还设立了各种情况下的奖励方案，大致是这样的： 如果谁有幸摸出了“6个红球”或者“6个白球”，那么摸者可以得到3元钱的奖励；如果摸出的是“5红1白”或者“5白1红”，那么摸者可以得到2元钱的奖励； 如果摸出的是“4红2白”或者“4白2红”，那么摸者可以得到1元钱的奖励；但如果摸出的是“3红3白”，对不起，摸球者必须付给摆摊者3元。
　　当时的围观者甚众。乍一看来，在可能出现的所有7种情况中，竟然有6种可以得到奖励，只有唯一1种情况要“挨罚”，很多人便欣然参与。 奇怪的是，“3红3白”的情况特别的多，也许摸个一、两次，能撞个大运，摸个“4红2白”或者“4白2红”，赢下寥寥几元钱，但如果连摸五次以上，几乎是必“赔”的。一天下来，最为得意的当然是那个摆摊者。
　　有些赔钱的人肯定会有这种疑问：“为什么摸出来的6个球，总是3红3白呢？ 是不是这个摆摊的人有点特异功能，施了魔法呢？”
　　当然不是。这是数学中的“概率”所左右的结果。
　　大家都知道，根据排列组合的知识，从12个球中摸出6个球，总的方法数为：
　　其中“6红”或者“6白”的情况，都仅有唯一的1种，按照概率论计算，就是1/924的出现概率，真是太低了，在概率论中可以算作“实际上不可能发生”的小概率事件。
　　容易计算出“5红1白”或者“5白1红”的情况各是：
　　两种情况加起来就是72种，也就是出现总概率为72/924＝6/77，还不到1/11，也够低的。所以这两种情况也难得出现。
　　出现“4红2白”或者“4白2红”的情况各是：
　　两种情况加起来就是450种，也就是出现总概率为450/924＝75/154，将近1/2， 也就是有一半的可能性。不过这两种情况每次都只能赢回1元钱。
　　最后我们来看看“3红3白”的情况：
　　所以，摸到“3红3白”的概率，就是400/924＝100/231，虽然比上面那两种情况的可能性稍低，但也是将近一半的可能性。尤其一旦摸到“3红3白”，一次就会损失掉3元钱。
　　根据上面的分析，我们可以得到如下结论：最有可能出现的三种情况是“3红3白” 、“4红2白”和“4白2红”，而且出现“3红3白”的概率接近1/2，出现“4红2白”和“4白2红”的概率都接近1/4。 也就是说，一般来讲，如果志愿者摸了四回，往往其中的两回都是“3红3白”（共赔6元），另外各有一次是“4红2白”和“4白2红”（共赚2元）。 算下总帐，4次摸球的结果，一般要赔进4元钱。 看来，参与摸球的人多半是会赔本的，而且摸的次数越多，赔出的钱也就越多。
　　看来，这位摆摊者巧妙地利用了概率论，成为不变的赢家。以后再遇到这种人，大家可千万不要上当啊！

在不在