2 模糊数学  
 
    第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 

    为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。 

    如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。 

    人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。 

    为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。 

    第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。 

模糊数学的应用 

    模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。 

    目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。 

    模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。 
 
 


 
 
 
 作者： 数坛一哥 2006-9-4 17:30 　 回复此发言 
 
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2 欧氏几何 
 
 这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。 

 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。 

 欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 

 从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。 

 由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。 

 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。 

 近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。 

 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。 

 但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。 

现代几何公理体系 

 人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。 

 希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题： 

 第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。 

 第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。 

 第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。 

 这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。 

 公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。 

 因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。 

 就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。 




　 

其它数学分支学科 

算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学

1 外国数学史 
 外国数学史 

（转自上海市数学会网站） 

 

古代埃及数学 (Ancient Egyptian Mathematics) 

 

 非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500-3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。 
 目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是约成书于公元前1650年的兰德(Rhind)纸草书，又称阿梅斯(Ahmes)纸草书。阿梅斯纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。 
 古埃及人使用象形文字，其数字以十进制表示，但并非位值制，而分数还有一套专门的记法。由埃及数系建立起来的算术具有加法特征，其乘、除法的计算也只是利用连续加倍的方法来完成。古埃及人将所有的分数都化成单位分数(分子为1的分数之和)，在阿梅斯纸草书中，有很大一张分数表，把 状分数表示成单位分数之和，如： ， ，…， ，等等。 
 古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。 
 如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。 
 埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱椎、圆椎、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。 
 至于在建造金字塔和神殿过程中，大量运用数学知识的事实表明，埃及人已积累了许多实用知识，而有待于上升为系统的理论。 

 

印度数学 (Hindu Mathematics) 

 

 印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往来，印度数学和近东，特别是中国的数学便在互相融合，互相促进中前进。另外，印度数学的发展始终与天文学有密切的关系，数学作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。 
 《绳法经》属于古代婆罗门教的经典，可能成书于公元前6世纪，是在数学史上有意义的宗教作品，其中讲到拉绳设计祭坛时所体现到的几何法则，并广泛地应用了勾股定理。 
 此后约1000年之中，由于缺少可靠的史料，数学的发展所知甚少。 
 公元5-12世纪是印度数学的迅速发展时期，其成就在世界数学史上占有重要地位。在这个时期出现了一些著名的学者，如6世纪的阿利耶波多(第一)( ryabhata)，著有《阿利耶波多历数书》；7世纪的婆罗摩笈多(Brahmagupta)，著有《婆罗摩笈多修订体系》(Brahma-sphuta-sidd'h nta)，在这本天文学著作中，包括「算术讲义」和「不定方程讲义」等数学章节；9世纪摩诃毗罗(Mah vira)；12世纪的婆什迦罗(第二)(Bh skara)，著有《天文系统极致》(Siddh nta iromani)，有关数学的重要部份为《丽罗娃提》(Lil vati)和《算法本源》(V jaganita)等等。 
 在印度，整数的十进制值制记数法产生于6世纪以前，用9个数字和表示零的小圆圈，再借助于位值制便可写出任何数字。他们由此建立了算术运算，包括整数和分数的四则运算法则；开平方和开立方的法则等。对于「零」，他们不单是把它看成「一无所有」或空位，还把它当作一个数来参加运算，这是印度算术的一大贡献。 
 印度人创造的这套数字和位值记数法在8世纪传入伊斯兰世界，被阿拉伯人采用并改进。13世纪初经斐波纳契的《算盘书》流传到欧洲，逐渐演变成今天广为利用的1，2，3，4，…等等，称为印度－阿拉伯数码。 


 
 
 
 作者： Eulre 2006-9-3 09:01 　 回复此发言 
 
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2 外国数学史 
 印度对代数学做过重大的贡献。他们用符号进行代数运算，并用缩写文字表示未知数。他们承认负数和无理数，对负数的四则运算法则有具体的描述，并意识到具有实解的二次方程有两种形式的根。印度人在不定分析中显示出卓越的能力，他们不满足于对一个不定方程只求任何一个有理解，而致力于求所有可能的整数解。印度人还计算过算术级数和几何级数的和，解决过单利与复利、折扣以及合股之类的商业问题。 
 印度人的几何学是凭经验的，他们不追求逻辑上严谨的证明，只注重发展实用的方法，一般与测量相联系，侧重于面积、体积的计算。其贡献远远比不上他们在算术和代数方面的贡献大。在三角学方面，印度人用半弦(即正弦)代替了希腊人的全弦，制作正弦表，还证明了一些简单的三角恒等式等等。他们在三角学所做的研究是十分重要的。 

 

阿拉伯数学 (Arabic Mathematics) 

 

 从九世纪开始，数学发展的中心转向拉伯和中亚细亚。 
 自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。 
 从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世纪还充满活力。 
 花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的数学家，他编写了第一本用阿拉伯语在伊斯兰世界介绍印度数字和记数法的著作。公元十二世纪后，印度数字、十进制值制记数法开始传入欧洲，又经过几百年的改革，这种数字成为我们今天使用的印度—阿拉伯数码。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》(《代数学》)系统地讨论了一元二次方程的解法，该种方程的求根公式便是在此书中第一次出现。现代“algebra”(代数学)一词亦源于书名中出现的“al jabr”。 
 三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发展了三角学。他们引进了几种新的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有：阿尔巴塔尼(Al-Battani)、阿卜尔维法(Abu'l-Wefa)、阿尔比鲁尼(Al-Beruni)等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁(Nasir ed-din)完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。 
 在近似计算方面，十五世纪的阿尔卡西(Al-kashi)在他的《圆周论》中，叙述了圆周率π的计算方法，并得到精确到小数点后16位的圆周率，从而打破祖冲之保持了一千年的记录。此外，阿尔卡西在小数方面做过重要工作，亦是我们所知道的以「帕斯卡三角形」形式处理二项式定理的第一位阿拉伯学者。 
 阿拉伯几何学的成就低于代数和三角。希腊几何学严密的逻辑论证没有被阿拉伯人接受。 
 总的来看，阿拉伯数学较缺少创造性，但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期，其成绩相对显得较大，值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去后，这些精神财富才传回欧洲。欧洲人主要就是通过他们的译着才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。 

 

古希腊数学 (Ancient Greek Mathematics) 


 

古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴棣制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝(Alexander the Great)征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城(Alexandria)。亚历山大大帝死后(323 B.C.)，他创建的帝国分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世(Ptolemy the First)大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！ 
 
 
 
 作者： Eulre 2006-9-3 09:01 　 回复此发言 
 
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3 外国数学史 
 希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。 


 一、雅典时期(600 B.C.-300 B.C.) 
 这一时期始于泰勒斯(Thales)为首的伊奥尼亚学派(Ionians)，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯(Pythagoras)领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。 
 公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。 
 埃利亚学派的芝诺(Zeno)提出四个著名的悖论(二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题)，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。 
 哲学家柏拉图(Plato)在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯(Eudoxus)是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德(Aristotle)是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。 
 二、亚历山大时期(300 B.C.-641 A.D.) 
 这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并希腊为分界，分为前后两期。 
 亚历山大前期出现了希腊数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大几何学家：欧几里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)及阿波洛尼乌斯(Appollonius)。 
 欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成13卷《几何原本》(Elements)。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。 
 阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师。他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算。阿基米德在纯数学领域涉及的范围也很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分的思想。 
 亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼(Eratosthenes)也是这一时期有名望的学者。阿波洛尼乌斯的《圆锥曲线论》(Conic Sections)把前辈所得到的圆锥曲线知识，予以严格的系统化，并做出新的贡献，对17世纪数学的发展有着巨大的影响。 
 亚历山大后期是在罗马人统治下的时期，幸好希腊的文化传统未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那种磅礴的气势。这时期出色的数学家有海伦(Heron)、托勒密(Plolemy)、丢番图(Diophantus)和帕波斯(Pappus)。丢番图的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯的工作是前期学者研究成果的总结和补充。之后，希腊数学处于停滞状态。 


 十二世纪是数学史上的大翻译时期，是知识传播的世纪，由穆斯林保存下来的希腊科学和数学的经典著作，以及阿拉伯学者写的著作开始被大量翻译为拉丁文，并传入西欧。当时主要的传播地点是西班牙和西西里，著名的翻译家有巴思的英国修士阿德拉特(Adelard)、克雷莫纳的格拉多(Gherardo)、切斯特的罗伯特(Robert)等等。 
 意大利的斐波那契(Fibonacci)是中世纪最杰出的数学家。他早年到各地旅游，经比较后确认印度—阿拉伯数码及其记数法在实用上最为优越，回到家乡后写成《算盘书》(Liber abaci，1202)。这部书是讲算术和初等代数的，虽说实质上是独立的研究，但也表现出受花拉子米(Al-knowarizmi)和阿布卡密耳(Abu Kamil)的代数学的影响。这部书对印度—阿拉伯数码的详尽叙述和强列支持，是有助于将这些符号引进欧洲的。斐波那契的另两部著作《实用几何》(Practica geometriae，1220)和《象限仪书》(Liber quadratorum，1225)是专门讨论几何、三角学和不定分析，同样是有独创性的著作。 
 
 
 
 作者： Eulre 2006-9-3 09:01 　 回复此发言 
 
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5 外国数学史 
 十四世纪相对地是数学上的不毛之地，这一时期最大的数学家是法国的N·奥雷斯姆(Oresme)，在他的著作中，首次使用分数指数，还提出用坐标表示点的位置和温度的变化，出现了变量和函数的概念。他的工作影响到文艺复兴后包括笛卡尔在内的学者。 
 十二世纪后，欧洲各地出现了许多从原教会学校基础上转变而来的大学。十三世纪上半叶，巴黎、牛津、剑桥、帕多瓦和那不勒斯等地的一些大学里，数学教育开始兴起，这些大学成为后世数学发展的重要基地。 

 

中美洲的数学 (Mathematics in Central America) 

 

 古代美洲文明是世界文明的重要组成部份。公元前1000年左右，中美洲兴起了玛雅文化，公元300-900年间是玛雅文化的全盛时期，之后便渐渐衰弱。对这里数学的了解，主要来自一些残剩的玛雅时代的石刻和几种玛雅文古抄本：德累斯顿抄本、马德里抄本、巴黎抄本等。 
 早在公元最初的几个世纪里，玛雅人就创立了以地球围绕太阳旋转一周作为一年的「太阴历」，比古代希腊、罗马人的历法还要精确。与此同时，玛雅人创造了独特的以20进位的位值制计数法。他们用三个符号「 」、「 」、「 」分别表示1、5和0，别的数字就由这三个符号组合，例如1-19各个数字表示如下： 
 
 到了20则进位。玛雅人加减法的运算比较简单，与阿拉伯数码的运算相同。对于乘除法运算，已发现的玛雅文献中还没有见到有关的例子。 
 玛雅人对形的认识，只能从玛雅古建筑中体会到一些，这些古建筑从外形看都很整齐规范。 

 

文艺复兴时期的数学 (Mathematics in the Renaissance) 

 

 十四至十六世纪在欧洲历史上是从中世纪向近代过渡的时期，史称文艺复兴时期。中世纪束缚人们思想的宗教观、神学和经院哲学逐步被摧毁，出现了复兴古代科学和艺术的文化运动。在自然科学方面，如哥伦布地理上的大发现、哥白尼的日心说、伽利略在数学物理上的创造发明等革命性事件相继发生。 
 这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘制在二维的画布上。他们研究绘画的数学理论，建立了早期的数学透视法思想，这些工作成为十八世纪射影几何的起点。其中最著名的代表人物有：意大利的达芬奇(Leonardo da Vinci)、阿尔贝蒂(Leone Battista Alberti)、弗朗西斯卡(Piero della Francesca)、德国的丢勒(Albrecht Durer)等。 
 文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度—阿拉伯数码的使用使算术运算日趋标准化。L·帕奇欧里(Pacioli)的《算术、几何及比例性质之摘要》(Summa de arithmetica，geometrica，proportioni et proportionalita，1494)是一本内容全面的数学书；J·维德曼(Widman)的《商业速算法》(1489)中首次使用符号「+」和「-」表示加法和减法；A·里泽(Riese)于1522年出版的算术书多次再版，有广泛的影响；斯蒂文(Simon Stevin)的《论十进》(1585)系统阐述了十进分数的理论。 


 代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作《大术》(Ars magna，1545)中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚(Tartaglia)。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari)发现，在《大术》中也有记载。稍后，邦贝利(Bombelli)在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。 
 符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达(Viete)完成的。他在前人工作的基础上，于1591年出版了名著《分析方法入门》(In artem analyticam isagoge)，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正》(De aequationum recognitione et emendatione，1615)中，改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。 
 
 
 
 作者： Eulre 2006-9-3 09:01 　 回复此发言 
 
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6 外国数学史 
 在文艺复兴时期，三角学也获得了较大的发展。德国数学家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus)的《论各种三角形》(De triangulis omnimodis)是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，还有很精密的三角函数表。哥白尼的学生雷蒂库斯(George Joachim Rhaeticus) 
 文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。 

 

日本数学 (Mathematics in Japan) 

 

人类从何时才开始定居于日本列岛，至今仍无定论。公元四世纪中叶，日本建立了第一个统一的国家。在十世纪以前，日本主要吸收外来的文化。中国、朝鲜和印度的文化对日本都有很大的影响，十世纪以后，真正的日本文化才发展起来。日本数学的繁荣则更晚，是十七世纪以后的事。 
 日本人把受西方数学影响以前，按自己的特点发展起来的数学叫和算，也算日本传统数学。十七世纪后期至十九世纪中叶是和算的兴盛时期。 
 和算在中国古代数学的影响下发展起来。公元六世纪始，中国的历法和数学就直接或间接地(通过朝鲜)传入日本，日本政府亦多次派留学生到中国唐朝学习数学。到八世纪初，日本已仿照隋唐时期的数学教育制度设立算学博士并采用《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《缀术》等中国古算书作为教材，这是中国数学输入日本的第一个时期。 
 十三至十七世纪，是中国数学传入日本的第二个时期，《杨辉算法》、《算学启蒙》、《算法统宗》等陆续传入日本，对日本数学的发展有重要的影响。吉田光由的《尘劫记》(1627)使珠算术在日本迅速得到普及，其内容与《算法统宗》极为相似，只是其中许多例题是根据日本的实际情况编写的。这时期还有几本着作是专门介绍和解释《算学启蒙》的。 
 十七世纪初，日本数学家开始写出自己的著作，如毛利重能的《割算书》(1622)、今村知商的《竖亥录》(1639)等。到十七世纪末期，通过关孝和等人的工作，逐渐形成了日本数学体系——和算。 
 关孝和在日本被尊为「算圣」，十七世纪末到十八世纪初，以他为核心形成一个学派〔关流〕，这一学派的主要成就是「点窜术」和「圆理」。「点窜术」是把由中国传入的天文术改为笔算，并改进了算式的记法，是和算特有的笔算代数学。「圆理」可看作是和算特有的数学分析。建部贤弘求得弧长的无穷级数表达式，又称圆理公式。久留岛义太推广了圆理公式，发展了圆理的极数术(极值问题)，并在西方数学家之前发现了欧拉函数和行列式展开定理。关氏学派的第四代大师安岛直圆深入到微积分领域，提出一种求弧长的方法；又将此法推广，形成二重积分，求出了两相交圆柱公共部份的体积。晚期的关氏学派数学家和田宁进一步改进了圆理，使计算弧长、面积、体积等问题更加简化，他使用的方法和现在积分法的原理相近。 
 除了关氏学派外，还有一些较小的学派。他们总结了和算中的各种几何问题；深入研究了计算椭圆、球面等面积和体积的公式；探讨了代数方程理论等等。 
 十九世纪中叶，日本政府采取了开国政策，西方数学大量传入。明治维新时期，日本政府实行「和算废止，洋算专用」政策，和算迅速衰废(只有珠算沿用至今)，同时开始了近代数学的研究。时至今日，日本已步入世界上数学研究先进国家的行列。 

（转自上海市数学会网站）

1 古典难题的挑战——几何三大难题及其解决 
 古典难题的挑战——几何三大难题及其解决 
 

　　位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。 

三大难题的提出 

　　实际中存在着各种各样的几何形状，曲和直是最基本的图形特征。相应地，人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆。画直线就得使用一个边缘平直的工具，画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具，这就产生了直尺和圆规。 

　　古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。 

　　漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。 

　　 

　　三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 

　　立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 

　　化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。 

　　这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。 

貌以简单其实难 

　　从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。 

　　其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出？ 

　　数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。 

高斯的发现 

　　历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段，解决三大难题有了新的转机。 

　　最先突破的是德国数学家高斯。他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。他的祖父是农民，父亲是打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没受过学校教育。由于家境贫寒，冬天傍晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，1795年又来到哥庭根大学学习。由于高斯的勤奋，入学后第二年，他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。 

　　由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。 

　　高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。 


最后的胜利 

　　解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。 
 
 
 
 作者： eucild 2005-7-12 21:09 　 回复此发言 
 
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2 古典难题的挑战——几何三大难题及其解决 
 2 古典难题的挑战——几何三大难题及其解决 
 
　　标准有了，下来该是大胆探索、细心论证。谁能避过重重险滩将思维贯通起来，谁就是最后胜利者。1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。 

　　他的证明方法是这样的： 

　　假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线 
段X，但些方程无有理根，若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段，但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。 

　　用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。 

　　1882年，德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性，从而解决了化圆为方的问题。假设圆的半径为r，正方形的边长为x，按化圆为方数代数方程的根，更不能用加减乘除开平方所表示，因而不可能用尺规法作图。 

　　从此，古典几何的三大难题都有了答案。 

　　2000多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要问这值得吗？假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？其实，数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法，勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题(这个我在上初中时曾经证明过，的确成立)，等分圆周、作正多边形，高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。每一次突破不仅是人类智慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技术的发展。 

　　特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究，在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以，一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的，直到1870年，伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。

1 “哥德巴赫猜想”真破解了吗？ 
 “哥德巴赫猜想”真破解了吗？ 
 最近，有人致电本报编辑部，声称已攻克了“哥德巴赫猜想”，要求派记者前去采访，并希望通过媒体公开发表其“研究成果”。那么，这颗“数学王冠的明珠”轻易就能被摘下吗？ 
 2000年3月18日，美英两家出版社联合宣布：谁能在两年内解开“哥德巴赫猜想”这一古老的数学之谜，可以得到100万美元的奖金。两年时间的限期已过，究竟有没有人解开此谜？ 
 2002年3月21日上午，记者专程来到中国科学院数学与系统科学研究院，采访是否有人破解“哥德巴赫猜想”，拿走这百万美元的奖赏。数学与系统科学研究院科研处处长陆柱家拿出许多资料说，多少数学专家曾为之穷尽了毕生的精力尚没有得到答案，而一般的人如果为了得到百万奖金就盲目地想解开此题，那是不可能的事情。 
 “哥德巴赫猜想”之谜 
 那么，“哥德巴赫猜想”究竟是一道什么样的数学难题，值得出版商悬赏巨资在全球寻求人破解呢？ 
 哥德巴赫猜想是一道数学问题，它尽管很神奇，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就能理解它的内涵。 
 18世纪上半叶，德国数学家哥德巴赫偶尔发现，每个不小于6的偶数都是两个素数之和。例如6＝3+3，24＝11+13。他经过长时间的验算之后，试图证明自己这一发现。然而屡试屡败。1742年，毫无办法的哥德巴赫写信求教于当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想，并问这是否是一个定理。欧拉很快回信说，这个猜想肯定是定理，但我无法证明它。 
 有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算，一直算到了3亿3千万，都表明哥德巴赫猜想是对的，但就是不能证明它。随即，这道每个不小于6的偶数都是两个素数之和(简称“1+1”)的设想，被世界数学界称为“哥德巴赫猜想”，并出了命题： 
 命题A：任何≥6的偶数可以拆为两个(奇)素数之和。命题B：任何≥9的奇数可以拆为3个(奇)素数之和。 
 事实上如果命题A成立，那么命题B必然是成立的，故通常仅提出命题A。 
 上世纪20年代，挪威数学家布朗用一种古老的数学方法“筛法”证明了每一个大偶数可分解为一个不超过9个素数之积与一个不超过9个素数之积的和(简称9+9)。从此，各国数学家纷纷采用筛法去研究哥德巴赫猜想。 
 中国数学家陈景润1973年发表论文《大偶数表为一个素数与不超过两个素数乘积之和》，证明了1+1＝2，离最终破解这道难题仅一步之遥。 
 目前，虽然利用计算机已证明到10的14次方为止，哥德巴赫猜想仍是成立的，但这并不能算是得到了答案，因为哥的数学论证必须要求其解释对所有的数都有效。所以，哥德巴赫猜想仍然是一个难解之谜。 
 悬赏烤热“猜想狂人” 
 两年来，且不说国外有多少人如何热衷于破解此难题寝食不香，仅国内，就有许多人言辞凿凿地说自己破解了哥德巴赫猜想，以至于中科院数学与系统科学所的院士们每天都能接到全国各地的电话或来信，甚至还有人千里迢迢带着自己的草稿守在中科院数学与系统科学所门口。 
 悬赏的消息发布后，最早声称自己破解了哥德巴赫猜想的是一位仅有初中文化的浙江“狂人”。 
 2000年4月初，浙江丽水市信用合作联社财务会计科科长范和平说，他潜心研究哥德巴赫猜想已有20多年了，现已经破解了此题。 
 语出惊世的范和平立即成了新闻人物。 
 4月2日的《钱江晚报》也刊发消息：范和平称，他别出心裁地使用了一种叫“互为补数淘汰法”的数学技巧，从而证明出哥德巴赫猜想了。 
 与范和平一样，四川的谢先生声称自己破解了哥德巴赫猜想的事，全国不少新闻媒体也争相发了消息。 
 在所有说自己破解了哥德巴赫猜想者中，一位名叫敢峰的73岁的老教育家最胆大，在人民日报出版社出版的《教育世纪》第一辑全文刊发了他的破解论文：《直取“1+1”之探索——用演绎数论对哥德巴赫猜想的证明》。 
 敢老先生说，他把论证哥德巴赫猜想比喻成爬山，上山的路总不会只有一条。最近两年时间，他集中精力论证。他是用称为“演绎数论”的方法进行论证的，他根据奇数序列中奇数P的相关合数P的出现和分布定则以及在所设定的x/2数列中非“1+1”栏(“栏”指构成偶数的奇数对)的分布定则，确定了总体思路，然后进行数理演绎，终于在2001年1月得出了研究结论，并写出了论文。敢老先生亦坚信他的证明是成功的，并希望国内外数学界人士对他的证明论文进行研究。 


 
 
 
 作者： eucild 2005-6-25 13:35 　 回复此发言 
 
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2 “哥德巴赫猜想”真破解了吗？ 
 在这两年悬赏期限内，最晚称自己破解了哥德巴赫猜想的是广东的一位农民。 
 2002年1月22日，中国新闻社发布消息：广东梅州市蕉岭县农民拖拉机手王来生说，他耗费8年心血完成了论证“哥德巴赫猜想”《利用数学技巧对“哥德巴赫猜想1+1＝2”的绝对证明》论文，最近通过了广东省版权局的登记，并称这是目前中国400多例同类论文申报中惟一获准登记的著作，已引起了美国数学协会等10多个国家和地区的学术机构的重视。 
 然而，这则消息很快被证实不实。 
 悬赏无人领取 
 目前，中科院数学研究院里专门从事数论研究的专家只有三四个，现在没有专家专门研究“1+1”。对于每天来要求鉴定“哥德巴赫猜想”证明的人，这些专家有自己的研究工作，不可能有精力和时间花在这方面。 
 陆柱家告诉记者：“可以负责任地说，‘哥德巴赫猜想’不仅业余数学爱好者做不出来，就是数论专家在没有采用新的理论和工具之前也是不可能证明的。” 
 陆柱家说，刚开始接到电话或信件，为了不打击这些人的积极性，院里还给每人回信，但有人还是不断寄来，很让他们头疼。对于这些文章，专家的评价是：几乎没有一篇是有价值的。陆先生还介绍说，虽然哥德巴赫问题的叙述本身比较浅显，但并不是说任何人都能够证明它。恰恰相反，它的证明很难，这从到目前为止世界上任何数学家都未能证明它可以看出。200多年来，只有中国数学家陈景润的证明结果最为接近“哥德巴赫猜想”，但也没完全证明。“哥德巴赫猜想”完整的表述是“一个大的偶数可以表示成两个素数之和”，它根本不是“1+1＝2”，只能称作“1+1”、“1+2”。 
 具备什么样的知识才能研究哥德巴赫猜想这一问题？陆柱家研究员说，这不能一概而论，但是认为“只需运用中学阶段的数学知识就可解决哥德巴赫猜想”是荒谬的。要想破解哥德巴赫猜想，须有相当扎实的数学功底，要钻研过数论，且对哥德巴赫猜想的相关研究比较了解。 
 2年的悬赏期限已到。据悉，截至目前，全世界尚没有人能够破解出哥德巴赫猜想这一难题，自然，100万美金花落无处。

1 牛顿 
 牛顿Sir Isaac Newton（1642—1727）是伟大的英国物理学家和数学家。他出生于林肯郡伍尔索普的一个农村家庭，恰与伽利略的去世是同年。牛顿是遗腹子，又是早产儿，先天不足，出生时体重只有3磅，差点夭折。他两岁时母亲改嫁，靠外祖母抚养。牛顿小学时期，体弱多病，性格腼腆，有些迟钝，学习成绩不佳。但他意志坚强，有不服输的劲头。据说，一次班上功课第一的“小霸王”欺侮他，踢了他的肚子一脚。牛顿被迫鼓起勇气与他较量，同时暗下决心在功课上一定要超过小霸王。他告诫自己说：“无论做什么事情，只要肯努力，是没有不成功的。”经过刻苦努力，牛顿超过了小霸王，一跃而为全班第一。 
 牛顿12岁进金格斯中学上学。那时他喜欢自己设计风筝、风车、日规等玩意。他制作的一架精巧的风车，别出心裁，内放老鼠一只，名曰“老鼠开磨坊”，连大人看了都赞不绝口。 
 1656年牛顿继父去世，母亲让牛顿停学务农，但他学习入迷，经常因看书思考而误活。在舅舅的关怀下，1661年，他进入剑桥大学三一学院学习，得到著名数学家巴罗的赏识和指导。他先后钻研了开普勒的《光学》、欧几里得的《几何学原本》等名著。1665年大学毕业，成绩平平。这年夏天伦敦发生鼠疫，牛顿暂时离开剑桥，回到伍耳索普乡下待了18个月。这18个月竟为牛顿一生科学的重大发现奠定了坚实的基础。1667年牛顿返回剑桥大学，进三一学院攻读研究生，1668年获得硕士学位。次年巴罗教授主动让贤，并推荐牛顿继任“卢卡斯自然科学讲座”的数学教授。时年牛顿27岁，从此在剑桥一待30年，1672年牛顿入选英国皇家学会会员；1689年当选为英国国会议员；1696年出任皇家造币厂厂长；1703年当选为皇家学会会长；1705年英国女王加封牛顿为艾萨克爵士。 
 牛顿是17世纪最伟大的科学巨匠。他的成就遍及物理学、数学、天体力学的各个领域。牛顿在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律，综合并表述了经典力学的3个基本定律——惯性定律、力与加速度成正比的定律、作用力和反作用力定律；引入了质量、动量、力、加速度、向心力等基本概念，从而建立了经典力学的公理体系，完成了物理发展史上的第一次大综合，建立了自然科学发展史上的里程碑。其重要标志是他于1687年所发表的《自然哲学的数学原理》这一巨著。在光学上，他做了用棱镜把白光分解为七色光（色散）的实验研究；发现了色差；研究了光的干涉和衍射现象，发现了牛顿环；制造了以凹面反射镜替代透镜的“牛顿望远镜”。1704年出版了他的《光学》专著，阐述了自己的光学研究的成果。在数学上，牛顿与德国莱布尼兹各自独立创建了“微积分学”；他还建立了牛顿二项式定理。牛顿在声学、热学、流体力学等方面也有不少研究成果和贡献。 
牛顿的一生遇到不少争论和麻烦。例如，关于万有引力发现权等问题，胡克与他争辩不休，差点影响了《原理》的出版；关于微积分发明权的问题，与莱布尼兹以及德英两国科学家争吵不止，给内向的牛顿带来极大的痛苦。40岁以后，他把兴趣转向政治、化学（贱金属变成黄金）、神学问题，写了近200万言的著作，毫无价值。常言道“人无完人，金无足赤”，牛顿也是如此。但是牛顿终归是伟大的牛顿，他的科学贡献将永载史册。 
 1727年3月31日，牛顿因肾结石症，医治无效，在伦敦去世，终年86岁。他死后被安葬在威斯敏斯特大教堂之内，与英国的先贤们安葬在一起。后人为纪念他，将力的单位定名为牛顿。英国著名诗人A·波普为他写了一个碑铭，镶嵌在牛顿出生的房屋的墙壁上： 
“道法自然，久藏玄冥； 
 天降牛顿，万物生明。”

1 欧几里德 
 埃及的亚历山大城，是地中海南岸的重要海港，经过托勒密王（Ｐｔｏｌｅｍｙ　希腊，埃及国王）苦心经营，逐渐成为新的希腊文化的渊薮，希腊本土这时已经退居次要地位。欧几里德（Ｅｕｃｌｉｄ　约公元前３３０－２７５）就生活在这个时代。欧几里德早期在雅典接受教育。他博览群书，汲取了前人积累起来的大量的几何知识，终于成为一位几何大家。成名之后，受托勒密王邀请，来到亚历山大教学。他是一位温良敦厚的教育家，对于有志数学之士，总是循循善诱地教导，但反对在学习上不肯刻苦钻研，投机取巧的作风。据说有一位学生，才开始学习第一个命题，就问欧几里德，学习几何学之后有什么报偿。欧几里德说：给他三个金币，因为他想在学习中获利。 
　　欧几里德的重大功绩是编写了《几何原本》。从来没有一本教科书，象《几何原本》这样长期占据着几何学教科书的头把交椅。从１４８２年出现活字印刷以来，《几何原本》竟然印刷了一千版以上。而在此之前，它的手抄本统御几何学达一千八百年之久。欧几里德的影响是如此深远，以至于欧几里德和几何学变成了同义语。 
　　《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理方法建立起演绎的数学体系的最早典范。这部著作给后人以极大的启发，不仅由此引出了公理化演绎的结构方法，给数学以及其他自然科学以典范的作用，而且由于其中第五公设的不可证明性质，引发了非欧几何的出现。 
　　无疑，欧几里德是希腊几何的集大成者，在整个数学史上树立了丰碑。

1 伽罗华 
 数学奇才——伽罗华 

(1811—1832) 

　 

1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟，他就离开了人世。数学史上最年轻、最有创造性的头脑停止了思考。人们说，他的死使数学发展推迟了好几十年。这个青年就是死时不满21岁的伽罗华。 

　　伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。家庭的影响使伽罗华一向勇往直前，无所畏惧。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助。老师们对他的评价是“只宜在数学的尖端领域里工作”。 

　　1828年，17岁的伽罗华开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的方程来解决问题。伽罗华最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌。1829年5月，伽罗华把他的成果写成论文，递交法国科学院，但伴随着这篇杰作而来的是一连串的打击和不幸。先是父亲因不堪忍受教士诽谤而自杀，接着因他的答辩既简捷又深奥令考官们不满而未能进入著名的巴黎综合技术学校。至于他的论文，先是被认为新概念太多又过于简略而要求重写；第二份推导详尽的稿子又因审稿人病逝而下落不明；1831年1月提交的第三份论文又因评阅人不能全部看懂而被否定。 

　　青年伽罗华一方面追求数学的真知，另一方面又献身于追求社会正义的事业。在1831年法国的“七月革命”中，作为高等师范学校新生，伽罗华率领群众走上街头，抗议国王的专制统治，不幸被捕。在狱中，他染上了霍乱。即使在这样的恶劣条件下，伽罗华仍然继续搞他的数学研究，并且写成了论文，准备出狱后发表。出狱不久，因为卷入一场无聊的“爱情”纠葛而决斗身亡。 

　　伽罗华去世后16年，他留存下来的60页手稿才得以发表，科学界才传遍了他的名字。