如图所示

将要说拿破仑三角形，曾经令拉普拉斯敬佩不已。
给它一个定义：
     这个三角形是这样的：      ● 在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。如图中的△DEF就是△ABC的外拿破仑三角形。      ● 在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”。

     这里提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：     
证明：     
如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，     
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°     
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。     
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。     
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）     
∴△ABF∽△BCD∽△ACE，    
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC    
又∵AG=AF，GE=DC     
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC     
∴△AGE∽△ABC     
∴∠GAE=∠BAC    
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°    
又∵AG=AF    
∴△AGF为等边三角形    
∴AG=AF，∠AGF=60°    
∵△AGE∽△ABC    
∴∠AGE=∠ABC    
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°    
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°     
∴∠FBD=∠FGE     
∵在△FBD和△FGE中，      FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE    
∴△FBD≌△FGE(SAS)     
∴FD=FE      同理，FD=DE    
∵FD=DE=FE    
∴△DEF为等边三角形     
即“外拿破仑三角形”是等边三角形。（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）    
证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同，有兴趣的话你也可以自己试试！

下面是另外两种推广

定理1
      以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD，CAE和ABF，
这三个等腰三角形的底角各为α，β和γ，且α+β+γ＝90°，
则       ∠FDE＝90°-α，∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．
证明
      为方便计，把△ABC的三内角简记为A、B、C．因DC＝DB，则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置，连FG．     
∵∠FBG＝360°-∠DBF-∠DBG       ＝360°- (α+β+γ) - (α+C+β)       ＝180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ       ＝A+β+γ＝∠FAE．       又BG＝CE＝AE，FB＝FA，      
∴△FBG≌△FAE，FG＝FE．      
从而△DGF≌△DEF，∠FDG＝∠FDE，      
同理∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．
定理2．
      在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝α，∠PCB＝∠QCA＝β，∠RAB＝∠RBA＝γ，且α+β+γ＝90°，则RQ＝RP，且∠QRP＝2α．
证明
      RB绕R逆时针旋转2α至RG，连BG、AG、QG．      
∵∠GBA＝∠GBR-γ       ＝90°-α-γ       ＝β       又RA＝RB＝RG，       即R为△ABG的外心，      
∴△ABG∽△ACQ∽△BCP，       又∠BAC＝∠GAQ，       又∠RGQ＝∠AGQ+∠AGR       ＝∠ABC+α+γ＝∠RBP，      
∴∠RGQ≌△RBP．      
∴RQ＝RP．       又因∠GRQ＝∠BRP，      
∴∠QRP＝∠GRB＝2α．      
以上摘自百度拿破仑吧．       下面介绍一个更好想的方法：
计算法证明:
      设新三个三角形的中心分别是Ｏ１    Ｏ２    Ｏ３，     
设出角度及边长，表达出∣Ｏ１Ｏ２∣及∣Ｏ１Ｏ３∣的长.经计算均等于（a2+b2+c2）/6]+(abc/2*√3*R)      
其中分别为三边长，Ｒ为三角形ＡＢＣ外接圆半径     
有兴趣的朋友可以试试（尤其是高中朋友，可作为三角部分的练习题）      


还可以用余弦定理来证明，思路是用三角形三边长a,b,c和（余弦定理）来表示等边三角形三边边长，辅助线很简单，看看扩展阅读。

说明一下，这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形。
本图形具备下列特征:
1.线段AX=BY=CZ,且该三线段交于一点，该点到ABC三点距离之和等于线段AX(或BY,CZ)。
2.线段AX与MN,BY与NL,CZ与ML互相垂直。
3.三角形ACY与BCX与ABZ之外接圆相交于一点，该点即线段AX,BY,CZ之交点。
四边形上，类似的定理为凡·奥贝尔定理。
拿破仑定理本身为佩特诺-伊曼-道格拉斯定理的特例。
内拿破仑三角形的面积大于等于 0 给出外森比克不等式。

拿破仑三角形的证明：利用图解的方式，一步一步说明拿破仑三角形的原理。

可见，
拿破仑·波拿巴法国近代资产阶级军事家、政治家、数学家。
在远征中拿破仑曾下达过一条著名的指令：“让驴子和学者走在队伍中间。”拿破仑本人精通数学，同时还十分喜爱文学和宗教，受启蒙运动的影响非常大，他在数学方面上曾经创造过一个“拿破仑定理”。 

突然有种玄幻了的感觉!!

额，什么意思？

拿破仑 牛B

对尊者有种玄幻的感觉。。。。