如题，这次真的是简单有用的小结论 假设A, B, C是两两互素的非零整数，a, b, c是大于1的正整数，p是与A, B, C互素的素数，k是小于c的正整数 如果lcm(a, b)=lcm(a, c)=lcm(b, c)，关于x, y, z的不定方程A*x^a+B*y^b+Cp^k*z^c=0 有非零整数解(x, y, z)，则 1. 一定存在一组非零整数解(x, y, z)，满足rad(gcd(x, y)) | Cp^k, rad(gcd(x, z)) | B, rad(gcd(y, z)) | A 2. 可以证明k不会同时被gcd(a, c)和gcd(b, c)整除，并且对任何一组非零整数解(x, y, z) (1) 如果gcd(a, c) | k，可以证明存在唯一的正整数m<lcm(

从2006年(第47届)开始，每年IMO的预选题都会在第二年赛后以PDF形式发布在官网的Problems-Shortlist上，把其中的数论部分找出来翻译了一下，被选中改编作为当年试题的题号会标红 题目原文(英文)、参考答案、其他部分的预选题、关于命题组成员的更多信息都可以在IMO官网上查到 网址: https://www.imo-official.org

RT

(1)如果p是一个奇素数，在1~p-1之间最多有连续a个整数是模p的二次非剩余，最多有连续b个整数是模p的非零二次剩余 可不可以推出a<√p+1, b<√p+1 (2)模p的最小正二次非剩余是一个小于√p+1的素数 (3)如果列出从小到大前n个奇素数的最小正二次非剩余，当n趋于无穷大时，它们的算术平均数收敛于某个常数

想了好一会儿没证出来

p是奇素数时，已经用艾森斯坦解决了。

谢谢

如果n≥3，有n个两两不同的非零整数，它们正好组成一个等差数列，那它们的乘积不可能等于1个整数的n次方 对一般的n已经有了一种证明的想法，可惜贴子字数有限，这里写不下 (´∀`)

p为素数，n为正整数，且n<p<1.5n，求证：p|∑（j从0到n）((-1)^j)*(Cn,j)^3

如题，过程比较繁琐，不值得推荐，只作为交流，有耐心的慢慢看，后面附上引理证明，引理2证明后面有注明为什么需要p-2≥指数

猜想是f(r)=r(r+1)…(2r-1)

有友友解答下嘛

如题，p是正整数，则1^p+2^p+......+n^p均能被n+1整除

过程就不写了。

将正整数n拆成5个正整数之和的不同方法数。 即n=x1+x2+x3+x4+x5的正整数解，五个数不计次序。为叙述方便，不妨设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5. 做变换x1=1+y1，x2=x1+y2=1+y1+y2,x3=x2+y3=1+y1+y2+y3, x4=x3+y4=1+y1+y2+y3,x5=x4+y5=1+y1+y2+y3+y4+y5 方程x1+x2+x3+x4+x5=n 变成 y1+2y2+3y3+4y4+5y5=n-5 ，其中y1,y2,y3,y4,y5为非负整数 注：方程可调整为 y1+2y2+3y3+4y4+5(y5+1)=n 表示n分解为y1个1，y2个2，y3个3,y4个4，y5+1个5之和。 即将n分解为最大数为5的分拆数（不论个数）。 设a[n] 为y1+2y2+3y3+4y4+5y5=n-5的 非负整

应该是还不错的一道题。可惜小弟实力有限，各位大佬看看有没有想法。

猜测:当素数P＞67时，P＃的结果均包含0～9十个数字。请问:是否存在反例？

觉得张益唐论文是英文或觉得原文繁琐的人，可以看这贴资料

原题是简单的，但答案里提出的一个扩展问题不会QWQ

37x+45y=20233745，满足条件（x，x，y）是整边三角形时解数

20231221是一个有趣的数字，请看:1^2+2^2=2+3;2^2+3^2=3+10;3^2+10^2=40+69;40^2+69^2=3175+3186;3175^2+3186^2=20231221。问题:能否在明年的某一天刚好碰到一个日期可以类似的表成以上形式的五重平方和？

1111……，是一般人都见识过的数，只是世人叫它为“光棍数”。有人戏称“11月11日”为光棍节，不过有人说应该是“美食节”（11表示筷子嘛）。 我们“数学人”把它称为“全1数”。这样显得“更数学”，而且可以在数学上加以推广、大做文章。 所谓“全1数”，指的是“完全由1组成的正整数”，比如11、111、11111，11……11。其中有几个1，就称为几“重”。 “全1数”乘以2、3、……、9后能得到“全2数”、“全3数”、……、“全9数”。这9个，可统

如题，例如证明a^4-b^4=c^2不存在(全为正整数)，开头假设存在的最小解是a为奇数，b为奇数，c为偶数，但是在此基础上推导出的m^4-n^4=r^2更小解m确实是比a小，但是却是m为奇数，n为偶数，r为奇数，那么这样是否存在问题，按道理应该同样是m为奇数，n为奇数，r为偶数才对。下图中是我收藏的一个吧友对此命题的证明，情形(1)也是我说的这个情况，请问吧友是否行得通？

a=±2^p（2^q±1）±3^m/2（3^n±1）（a，p，q，m，n均为自然数） 即任一自然数可表示为±2^p（2^q±1）±3^m/2（3^n±1） 求证明或反例

试找出两个三项的等差数列，其中6个数互不相等且为正整数，两个等差数列的3个数乘积相同，或证明不存在这样6个数。

跟风想扔个坑，就数论考题吧，看一道写一道（标明出处，可能某些题并没有抄题）

这有一道题，貌似不是数论，但是我活生生把他做成了数论，一楼贴我的做法

是否存在两个在(0，1)内的数a.b满足对任意正整数n均有【na】+【nb】=【n(a+b)】

过年了，为了回家，你准备从南极飞到北极。 这时有n只🐧找到你也想回家，它们的🏠可能在世界的任意一个地方,比如🇰🇵，🇺🇸，🇯🇵，etc 设🌍的半径为r，你在送它们回家时会尽量选择最短的路线。 而这个路线的长度会随着🐧🏡所在的位置而决定。 显然，对每个n，存在一个最长的“最短的路线”f(n)，如f(1)=丌r，f(2)=2丌r，etc 求f(n)的表达式？

晨兴通俗报告How to do Mathematics文稿 （任金波整理，欢迎纠错） 以下是我整理并翻译成汉语的，本人才疏学浅，有些地方实在没听懂，其余部分难免也有很多错误，翻译的汉语对演讲者的意思的传达也可能有不准确的地方，恳请大家纠错并不吝赐教！谢谢！ 特别鸣谢：Asa，Ray，诸子越同学，胡晓文师兄，张汉雄师兄，我万分感谢他们对我的帮助！！！ How <wbr>to <wbr>do <wbr>Mathematics <wbr>by <wbr>Benson <wbr>Farb Title: How to do mathematics? (

大家记录一下自己看过的数论教材，论文，杂志，笔记，习题集，等等。

a^2+b^2+c^2整除abc，其中a，b，c两两互素，是否存在，能证明吗

丢番图问题[ 编辑] 不定问题关注的整数解多项式方程：一种可能的解决方案中的分布研究，也就是根据某种程度的“大小”或高度计数的解决方案。 一个重要的例子是高斯圆问题，要求整数点（X Y）满足 在几何方面，给出圆心与半径r在平面的起源，这个问题问多少整数格点在于圈子里面。这也就不难证明，答案是，作为。再次，困难的部分，解析数论的伟大成就获得误差项ê（R）的具体上限 。 结果表明高斯。在一般情况下，一个直径误差项（R）

来自http://blog.renren.com/blog/397560411/912237698 人人上王怡的日志 LZ对此稍有改编

收集从StackExchange看到的有意思、有难度的题目 一楼防吞

1、证明多项式 1+3x, 1+3x+5x^2, 1+3x+5x^2+7x^3, .... 都在有理数域上不可约. 2、证明多项式 1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n 模任何素数都可约当且仅当n形如8k(k+1), 这儿k为正整数. 3、对每个大于1的整数n, 都有无穷多个整数b>n使得 1+2*b+3*b^2+...+n*b^{n-1} 为素数, 而且最小的这样的b小于12*n^2. 4、对于n=5,6,..., 下面这个具体的代数方程 x^n+3*x^{n-1}+5*x^{n-2}+...+(2n-1)*x+2n+1 = 0 不是根式可解的. 5、任给一段相继素数p_m,...,p_n (p_k表示第k个素数), 证明有无 穷多个整数b>p_n使得b进制数 [p_m,.

各种版本的吧规： 第一版：http://tieba.baidu.com/p/1342319115 第二版：http://tieba.baidu.com/p/1634699397 狐狸版：http://tieba.baidu.com/p/1436202735

介绍0~9999每个数字的特殊性质，取自 What's Special About This Number?

感谢毒兽，这个帖子介绍abc猜想

试用高斯(Gauss)逐步淘汰法解同余方程x2≡33 (mod 97).